Teorema di weierstrass: quello che c’è da sapere

Per studiare il teorema di Weierstrass bisogna conoscere i fondamenti dell’analisi matematica. Se sei uno studente di un corso di laurea in Ingegneria sai bene di cosa stiamo parlando. Una disciplina che divide in due la popolazione: da una parte chi la ama, dall’altra chi la odia. D’altronde in Italia siamo un popolo di umanisti, ma se non esistesse qualcuno che conosce i vari teoremi e le questioni matematiche dove andremo a finire? In questo articolo non possiamo spiegare nel dettaglio tutti i concetti e gli strumenti di questa complessa disciplina. Ci limiteremo a fornire definizioni esaustive degli oggetti di studio.

Analisi matematica: teoria degli insiemi e altre

Prima di parlare del teorema in sé dobbiamo inquadrare il contesto in cui viene sviluppato e la materia in cui trova applicazione: l’analisi matematica. Difatti gli oggetti di studio dell’analisi sono diversi, tra cui:

• La teoria degli insiemi
• Calcolo infinitesimale
• Comportamento di una funzione

Può darsi che tutto questo per te sia ancora arabo. Ma non ti preoccupare, una buona formazione scientifica o tecnica pone le basi su un’ottima conoscenza di queste nozioni. Pertanto se ti iscriverai ad una facoltà che prevede queste competenze sappi che tutti questi concetti verranno ripresi e approfonditi con molta attenzione. Ma intanto andiamo avanti.

Come abbiamo visto l’analisi matematica ha diverse estensioni e campi di ricerca. È un ramo di una disciplina più ampia, la matematica, da cui si muove per studiare le proprietà di un oggetto scomposto all’infinito. Si parla di calcolo infinitesimale, all’interno di questo tema si esplorano due nozioni di grande importanza:

• Limite
• Continuità
• Infinito

Questi concetti diventano problemi matematici da risolvere tramite calcoli e indagini che sono al centro dello studio di diverse materie scientifiche come l’informatica, l’economia o le scienze naturali, associata alla sua disciplina sorella: l’analisi numerica.

La matematica prima del Teorema di Weierstrass

Quando parliamo di analisi matematica stiamo parlando di un ramo recente, nato introno alla seconda metà del 1600 in seguito alla riflessione di Isaac Newton e di Gottfried Leibniz. A questi due famosi studiosi si devono le basi concettuali del calcolo infinitesimale, prima di loro quasi del tutto sconosciuto.

I primi oggetti di studio dell’analisi matematica furono:

• Rappresentazione geometrica nel piano cartesiano delle funzioni
• Calcolo di aree
• Caratteristiche geometriche di una curva

Ma un avanzamento dello studio e della ricerca condusse ben presto ad ampliare gli orizzonti, anche grazie all’evolversi di nuovi approcci scientifici con l’avvento della fisica che conduce fino allo sviluppo della meccanica razionale.

Fu solo verso la fine del 1700 che il concetto di limite venne definito in modo più chiaro. Prima era solo un’idea, un’intuizione che restava confinata nelle riflessioni dei filosofi. Ma l’introduzione di metodi di calcolo di un valore del limite aprì nuovi orizzonti e le vecchie nozioni e teoremi furono rivisitati, al posto delle giustificazioni geometriche si iniziò a ragionare su:

• Numero
• Insieme

I nuovi spazi consentirono di pensare gli spazi a dimensione maggiore di tre. Lo studio dell’analisi matematica consentiva di immaginare un mondo molto più vasto, approfondito e completo di quanto fno ad allora era stato possibile.

Le funzioni: cosa sono e i teoremi

Al centro dello studio di questo teorema c’è un elemento strettamente collegato all’analisi matematica: la funzione. In realtà sono diversi i concetti che studia questa disciplina, tra cui è importante ricordare:

• La teoria degli insiemi
• Le funzioni
• L’operazione di limite
• Serie
• Derivata
• Integrale

In questo caso esploreremo meglio i primi due concetti che sono quelli che ci interessano più da vicino.

Il concetto di insieme è la teoria degli insiemi costituiscono a una parte essenziale della matematica. All’interno degli insiemi si raggruppano elementi di diversa natura. La teoria studia le operazioni che intercorrono tra questi insiemi, tra cui la nozione di funzione.

Qui ci addentriamo meglio nel nostro ambito di interesse. La funzione viene studiata tramite operazioni più complesse, come quella del limite che conducono a risultati di grande interesse e utilità sia teorica che pratica. Qualche esempio delle proprietà che si possono definire tramite queste operazioni:

• Continuità
• Derivabilità
• Differenziabilità

Nel 1900 si è iniziato a studiare lo spazio delle funzioni come spazio vettoriale topologico infinito-dimensionale, un avanzamento che corrisponde anche con lo sviluppo e la rapida crescita della scienza e della tecnica in molti settori.

Il teorema di Weierstrass si occupa di studiare l’esistenza di massimi e minimi di una funzione variabile reale. Questo è un tipo comune di funzione, in cui una legge dispiega la sua azione su numeri reali e li trasforma in altri numeri reali. Ne esistono due diverse categorie:

• Funzioni algebriche
• Funzioni trascendenti

La prima si costruisce attraverso un numero finito di applicazioni delle classiche operazioni dell’aritmetica e dell’elevamento a potenza. Anche questa macrocategoria a sua volte accoglie diverse funzioni.

La seconda, ossia le funzioni trascendenti non sono algebriche ma possono essere:

• Logaritmiche
• Esponenziali
• Trigonometriche

Come dimostrare il teorema di Weierstrass

Ci sono diversi modi per dimostrare il teorema. Ma prima di spiegare come procedere dobbiamo introdurre il concetto di compattezza o di successione. Nel caso della compattezza la soluzione del problema matematico e la sua relativa dimostrazione è abbastanza semplice. Il teorema si basa proprio sulle funzioni compatte le quali consentono la loro trasformazione anche in funzione di y.

La funzione è dunque limitata e prevede solo un massimo e minimo assoluto, i quali sono unici.

Un altro metodo per spiegare il teorema di Wierstrass è la successione di punti.

Ti devi assicurare che ogni funzione abbia un punto x1 la cui funzione f (x1) sia uguale o superiore. La successione che dovrai costruire deve risultare superiore al punto di x. Da qui dovrai proseguire fino a raggiungere il punto x1 in questione. Queste sono le successioni: sequenze di numeri che protendono al superiore. Mediante il teorema di Bolzano la successione si chiude.

Grazie al matematico Bernard Bolzano è stato possibile assicurare l’esistenza di una radice delle funzioni continue reali, anche di quelle che assumono segni opposti alle due estremità dell’intervallo. Tale teorema è anche conosciuto con il nome di teorema degli zeri.

Applicazioni del teorema di approssimazione di Weierstrass

Chiunque abbia intenzione di iscriversi ad un corso di laurea in materie di tipo scientifico dovrebbe avere una generale infarinatura di queste nozioni. Il teorema di Bolzano o i concetti di funzione variabile reale sono pane quotidiano per coloro che si applicano in materie tecniche.
Possiamo rassicurare anche i più pessimisti: la matematica non è un’opinione. Come tale non è soggetta a nessuna variabile, anzi è sempre facilmente riconoscibile e comprensibile nelle sue formule e nei suoi concetti scritti nero su bianco su molti manuali. La sua complessità spaventa, ma con l’allenamento e la motivazione si apprende rapidamente. Le facoltà in cui si studia analisi matematica e le sue applicazioni sono:

• Ingegneria biomedica
• Ingegneria civile
• Ingegneria elettronica
• Ingegneria informatica

Soffermiamoci un attimo su quest’ultima. Quanti progressi sono stati fatti per giungere fino all’apice dello sviluppo tecnologico e multimediale in cui ci troviamo ora, in un tempo in cui è possibile studiare on line e scegliere di lavorare sul web? I grandi passi avanti fatti nel cammino tecnologico coincidono con lo sviluppo di strumenti più efficaci per studiare e approfondire i concetti dell’analisi matematica. Una materia a cui dobbiamo tantissimo. Ci auguriamo che questo articolo ti abbia fatto venire voglia di avvicinarti ancora di più a questa disciplina, magari frequentando uno dei nostri corsi di laurea o master on line, per formarti in modo completo ed efficace per il lavoro del tuo futuro.